NOVITA PUTRI UNTARI

2014-020-043

Teknik Optimisasi

Untuk menjawab pertanyaan berapa besarnya laba yang layak untuk ditentukan oleh perusahaan, maka perlu melakukan penghitungan penentuan laba dengan teknik optimisasi (optimization technique).

Teknik ini merupakan aplikasi dari teori ekonomi yang digunakan sebagai ilmu pengambilan keputusan bagi manajer agar mencapai tujuan secara efektif dan efisien. Teknik optimisasi sendiri beragam, antara lain: teknik Optimasi dengan Kalkulus, Optimisasi Multivariate, Optimisasi Terkendala (constrained optimization).

1.      Teknik optimisasi dengan kalkulus (optimization with calculus).

Sebagaimana namanya, teknik ini menggunakan perhitungan-perhitungan matematis (kalkulus).  Teknik ini digunakan untuk:

a)      menentukan nilai maksimum atau minimum output produksi yang dapat menciptakan laba maksimal. Caranya adalah menggunakan turunan atau derivasi tingkat satu dari suatu fungsi,

b)      membedakan antara nilai maksimum dan minimum. Caranya adalah dengan menggunakan turunan atau derivasi tingkat kedua.

Contoh:

Manajer suatu perusahaan tentu ingin perlu menghitung berapa laba maksimal yang dapat dicapai. Maka untuk menentukan laba maksimum tentu perlu menentukan berapa nilai revenue maksimum dan nilai cost minimum. Misalnya suatu perusahaan mempunyai fungsi permintaan TR= 100Q – 10Q² .

Caranya adalah menderivasi fungsi TR tersebut hingga nilai derivasi atas fungsi tersebut sama dengan nol (0).

TR= 100Q – 10Q²                    diderivasi menjadi:

                turunan pertama

karena syaratnya turunan harus nol,

maka:

0 = 100-20Q

20Q = 100

Q = 5

Artinya, total penghasilan adalah 5 unit.

Karena dihadapkan pada pertanyaan apakah laba sebesar 5 unit tersebut merupakan nilai minimum atau maksimum, maka perlu mencari jawabannya dengan meneruskan perhitungan hingga turunan kedua (second derivative). Sebagaimana dijelaskan di atas, bahwa turunan kedua ini berfungsi untuk membedakan antara nilai maksimum dan nilai minimum.

Jika, TR= 100Q – 10Q²                       diturunkan I menjadi

                   

 turunan I

maka perlu diturunkan lagi menjadi:

 turunan II

Ada ketentuan yang berkaitan dengan turunan kedua, yaitu jika nilai turunannya bernilai positif (+) berarti nilai tersebut adalah nilai minimum. Sebaliknya, jika nilai turunannya bernilai negatif (-) berarti nilai tersebut adalah nilai maksimum.

Karena nilai turunan kedua bertanda negatif (-20) dan turunan pertamanya sebesar Q=5, maka berarti, atas fungsi tersebut laba minimumnya berada pada 5 unit. Jika produksinya dikurangi hingga kurang dari 5 unit maka perusahaan akan mengalami kerugian. Tentu saja produksi harus ditentukan di atas 5 unit.

Contoh II

Jika fungsi TR = 45 Q – 0,5 Q²

Maka berapa tingkat labanya dapat ditentukan, yaitu:

jadi, Q = 45

 

  Artinya, laba maksimal berada pada nilai Q = 45. Dengan demikian, jika perusahaan memproduksi melebihi 45 unit, perusahaan akan mengalami laba yang semakin berkurang. Ini berarti berlaku law of deminishing return.

Contoh lain: (dengan menggunakan fungsi marginal cost).

MC = 3Q² –16Q + 57

jadi,     Q = 2,66

Artinya, laba minimum dicapai pada Q = 2,66.

2.      Optimasi Multivariat (Multivariate optimization).

Optimisasi multivariate merupakan proses penentuan nilai maksimum atau minimum atas suatu fungsi yang memiliki dua atau lebih variabel. Langkah yang perlu ditempuh adalah terlebih dahulu melakukan derivasi secara partial dan kemudian mengujinya dengan melalui proses maksimisasi fungsi multivariabel. Oleh karena itu sering disebut partial derivative.

Contoh-contoh yang di bahas di atas masih mengasumsikan variabel dependen hanya dipengaruhi oleh satu variabel saja. Padahal dalam realita, hubungan ekonomi seringkali menunjukkan bahwa satu variabel dependen dapat dipengaruhi oleh dua variabel bebas sekaligus atau bahkan lebih. Sebagai contoh, total revenue mungkin saja dipengaruhi (atau fungsi dari) output dan advertising secara sekaligus. Total cost dapat saja dipengaruhi oleh pengeluaran atas biaya tenaga kerja dan juga kapital. Atau, total profit mungkin dipengaruhi oleh penjualan barang X dan Y sekaligus.

Asumsi fungsi seperti itu penting sekali untuk menentukan efek marginal pada variabel terikat. Efek marginal ini perlu diukur dengan partial derivative. Yang disimbolkan dengan  (untuk membedakan dengan derivasi di atas yang disimbolkan dengan d). Pada partial derivative ini yang diderivasikan adalah variabel terikat, bukan variabel bebas.

Sebagai contoh, anggap saja total profit () merupakan fungsi dari (dipengaruhi oleh komoditi X dan Y, yang dapat ditulis sebagai berikut:

 = f (X, Y) = 80X-2X²-XY-3Y²+100Y

untuk mendapat partial derivative dari maka perlu diderifikasikan dengan X (x) dan Y dianggap tetap.

Ini bertujuan untuk mengisolasi efek marjinal pada profit dari perubahan jumlah penjualan komoditi X saja (makanya Y dianggap tetap). Kemudian lakukan juga pengisolasian efek marginal profit atas Y.

Setelah tahapan itu selesai maka perlu dilanjutkan dengan memaksimisasi atau meminimisasi fungsi multivariabel. Untuk memaksimisasi atau meminimisasi fungsi multivariabel perlu  masing-masing partial derivative dipersamakan dengan nol (0) yang dilanjutkan dengan mencari nilai masing-masing variabel.

 = 80X-2X²-XY-3Y²+100Y

disubstitusikan dengan model seperti ini:

80 - 4X – Y = 0

-X - 6Y + 100 = 0

agar nilai X dapat diketahui, maka persamaan yang atas dikalikan dengan -6 menjadi:

-480 + 24X + 6 Y = 0

   100 -     X  - 6Y = 0

-380 + 23 X          = 0

jadi X = 380/23 = 16,52.  Nilai X ini disubstitusikan ke persamaan Y hingga menjadi:

80 - 4(16,52)-Y = 0

jadi Y = 80 – 66.08 = 13,92

Dengan demikian, perusahaan akan mengalami profit maksimal ketika menjual 16,52 unit komoditi X dan 13,92 unit komoditi Y. Besarnya total maksimal profit dapat diketahui dengan mensubstitusikan nilai X dan Y ke dalam persamaan profit.

 = 80(16,52) – 2(16,52)²- (16,52)(13,92) – 3(13,92)² + 100(13,92)

 = 1.356,52

3. Constrained Optimization

Dua teknik optimisasi yang telah di bahas di atas adalah menggunakan asumsi tidak ada kendala. Padahal, dalam praktik manajerial sangat mungkin untuk timbulnya kendala. Sehingga keinginan untuk memaksimisasi profit juga tidak sesuai yang diharapkan. Kendala-kendala tersebut dapat berupa terbatasnya kapasitas produksi, tidak tersedianya tenaga terampil, kelangkaan bahan baku, adanya masalah legal, konflik dengan lingkungan, dan sebagainya. Untuk menghitung optimisasi profit dalam kondisi terkendala, maka dapat dilakukan dengan menggunakan dua cara yaitu, dengan optimasi terkendala biasa atau dengan metode lagrangian multiplier.

Misalnya, perusahaan ingin memaksimisasi profit dengan fungsi seperti yang dibahas di atas   

 = 80X-2X²-XY-3Y²+100Y

tetapi menghadapi kendala bahwa output komoditi X dan Y harus berjumlah 12. Kalau ditulis dalam persamaan menjadi X+Y = 12

Menghadapi masalah seperti itu, maka perlu ditentukan dulu nilai salah satu variabel, apakah X atau Y terlebih dulu. Anggap saja yang dicari terlebih dulu adalah nilai X, maka:

X = 12-Y

Nilai ini kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan fungsi profit.

 = 80(12-Y)-2(12-Y)²-(12-Y)Y-3Y²+100Y

   = 960 – 80Y – 2(144-24Y+Y²) – 12Y + Y² – 3Y² + 100Y

   = 960 – 80Y – 288 + 48Y – 2Y² – 12Y + Y² – 3Y² + 100Y

   = -4Y² + 56Y + 672

Untuk memaksimisasi fungsi profit terkendala di atas, maka hasil tersebut diderivasi tingkat pertama, menjadi:

 

jadi nilai Y diketahui, yaitu Y = 7. Nilai Y ini di substitusikan ke dalam kendala, sehingga nilai X diketahui, yaitu X = 5

X = 12 - 7 = 5. Artinya, perusahaan akan mengalami profit maksimum ketika menjual komoditi X sebanyak 5 unit dan komoditi Y sebanyak 7 unit. Dengan demikian total profitnya akan dapat diketahui, yaitu:

 = 80(5) – 2(5)² – (5)(7) – 3(7)² + 100(7)

   = 868

Apabila dibandingkan dengan kondisi tanpa kendala yang besarnya mencapai 1.356,52, maka dengan kendala profitnya menjadi lebih kecil.

Metode Lagrangian Multiplier

Cara yang baru saja dibahas ini, dapat dilakukan dengan menggunakan metode yang agak berbeda, yaitu metode lagrangian multiplier. Metode ini mempunyai ciri khas yaitu: 1) penggunaan persamaan fungsi lagrangian yang disimbolkan dengan L mewakili variabel dependen. 2) penggunaan simbol  (lambda) yang digunakan sebagai representasi kendala, yang sekaligus digabungkan ke dalam persamaan fungsi lagrangian. 3) nilai kendalanya dipersamakan dengan nol terlebih dulu.

Sebagai contoh, dengan mengulang persamaan fungsi profit yang dibahas di atas

 = 80X-2X²-XY-3Y²+100Y dan kendala yang tetap sama, yaitu X+Y=12, dengan menggunakan fungsi lagrangian akan dipersamakan dengan nol menjadi:

X+Y-12 = 0

maka dengan menggunakan metode lagrangian multiplier ini akan dituliskan menjadi sebagai berikut:

L_ = 80X-2X²-XY-3Y²+100Y+(X+Y-12)

Untuk mendapatkan nilai maksimisasi profit, maka perlu dilakukan partial derivative atas L_dengan variabel X,Y, dan  secara bergantian. Hasil dari partial derivative tersebut masing-masing perlu dipersamakan dengan nol.

Untuk mendapatkan nilai X,Y,, dan memaksimalisasi L_dan , maka perlu substraksi atas masing-masing hasil derivasi yang dipersamakan dengan nol tersebut.

100-X-6Y+= 0   dikalikan -1 menjadi 

-100+X+6Y-= 0

  80-4X-Y+ = 0

-20-3X+5Y    = 0

untuk dapat disubstraksi dengan X+Y-12=0, maka angka ini dimultiplikasi dengan angka 3 hingga menjadi:

  3X+3Y-36= 0

-3X+5Y-20= 0

       8Y-56 = 0

dengan demikian nilai Y diketahui, yaitu 56/8=7. Nilai X juga menjadi diketahui, yaitu X+7-12=0; jadi X=5. Nilai  juga diketahui, yaitu = 868.

 = 80(5) – 2(5)² – (5)(7) – 3(7)² + 100(7)

   = 868

Dengan diketemukannya nilai X, Y, , maka nilai juga dapat diketahui. Caranya dengan memasukkan angka-angka tersebut ke dalam salah satu persamaan yang mengandung unsur . Misalnya hendak dimasukkan ke dalam persamaan

nilai l ini penting untuk dterjemahkan. Nilai ini merupakan efek marginal yang menunjukkan besarnya nilai perubahan profit akibat adanya perubahan pada kendala. Dengan nilai tersebut dapat diartikan bahwa jika kendala berkurang sebesar 1 unit, maka profit akan meningkat sbesar 53 rupiah. Sebaliknya jika kendala meningkat 1 unit, maka profit akan berkurang sebesar 53 rupiah.

Referensi: Supawi Pawenang, 2016, Modul Akutansi Biaya UNIBA

uniba.